行基本変形を利用した逆行列の求め方

逆行列

逆行列は、ある行列と掛けると、単位行列が得られる行列のことです。

AB ＝ 単位行列

OR

BA ＝ 単位行列

行基本変形

行基本変形は、次の３つの変形方法です。

１．ある行と、他の行を入れ替える
２．ある行を n 倍する
３．x 行目 に n 倍した値を、y 行目に足す

これら変形方法を利用して逆行列を求めることができます。

例えば、次の行列 A の逆行列を求めてみます。

行列 A

1 0 0
0 1 0
0 3 1

手順１：
行列 A のとなりに単位行列を書きます。

1 0 0 | 1 0 0
0 1 0 | 0 1 0
0 3 1 | 0 0 1

手順２：
行基本変形の３つの変形方法のいずれかを使って、行列 A を単位行列に変換します。
ここでは、(3, 2) 成分を 0 にすると、行列 A が単位行列になります。
(3, 2) 成分を 0 にするために、基本変形２を使って「2 行目を -3 倍した値を、3 行目に足す」をします。

すると、次の結果が得られます。行列 A は単位行列になり、行列 A の右側に、行列 A の逆行列を求めることができました。

1 0 0 | 1  0 0
0 1 0 | 0  1 0
0 0 1 | 0 -3 1