行基本変形を利用した逆行列の求め方

逆行列

逆行列は、ある行列と掛けると、単位行列が得られる行列のことです。

AB = 単位行列

OR

BA = 単位行列


行基本変形


行基本変形は、次の3つの変形方法です。

1.ある行と、他の行を入れ替える
2.ある行を n 倍する
3.x 行目 に n 倍した値を、y 行目に足す

これら変形方法を利用して逆行列を求めることができます。

例えば、次の行列 A の逆行列を求めてみます。

行列 A
1 0 0
0 1 0
0 3 1


手順1:
行列 A のとなりに単位行列を書きます。

1 0 0 | 1 0 0
0 1 0 | 0 1 0
0 3 1 | 0 0 1

手順2:
行基本変形の3つの変形方法のいずれかを使って、行列 A を単位行列に変換します。
ここでは、(3, 2) 成分を 0 にすると、行列 A が単位行列になります。
(3, 2) 成分を 0 にするために、基本変形2を使って「2 行目を -3 倍した値を、3 行目に足す」をします。

すると、次の結果が得られます。行列 A は単位行列になり、行列 A の右側に、行列 A の逆行列を求めることができました。
1 0 0 | 1  0 0
0 1 0 | 0  1 0
0 0 1 | 0 -3 1

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